Interpretación de la elasticidad

Cuando pensamos por primera vez en la derivada, utilizamos la pendiente de las rectas secantes sobre intervalos pequeños para aproximar la derivada: \f'(a)\Naprox \Nfrac{\NDelta y}{\NDelta x}=\Nfrac{f(x)-f(a)}{x-a}].

Obsérvese que no sabemos si estas aproximaciones están cerca, pero son lo mejor que podemos hacer con la información limitada que tenemos para empezar. Observa también que 18 y 23 están más o menos cerca de 20, así que podemos esperar que estas aproximaciones sean bastante buenas. Nos sentiríamos más seguros usando esta información para aproximar \(g(20,003)\Na). Nos sentiríamos muy inseguros usando esta información para aproximar \(g(55)\Nla demanda).

Sabemos que las funciones de demanda son decrecientes, por lo que cuando el precio aumenta, la cantidad demandada disminuye. ¿Pero qué pasa con los ingresos = precio \( \times \) cantidad? Cuando el precio aumenta, ¿se reducen los ingresos porque la demanda ha disminuido mucho? ¿O aumentarán los ingresos porque la demanda no ha bajado mucho?

La elasticidad de la demanda es una medida de cómo reacciona la demanda a los cambios de precio. Está normalizada, es decir, los precios y las cantidades concretas no importan, y todo se trata como un cambio porcentual. La fórmula de la elasticidad de la demanda incluye una derivada, por lo que la discutimos aquí.

Elasticidad de los precios

A continuación deducimos el modelo matemático que nos ayuda a analizar la relación entre el precio unitario y los ingresos, y determina la elasticidad de la demanda de una situación económica concreta cuando la función de demanda está dada.

Para ayudar a nuestro análisis, será más conveniente escribir la función de demanda \(f\) en la forma \(q=f (p)\text{.}) En otras palabras, pensaremos en la cantidad demandada \(q\) de un determinado producto como una función de su precio unitario \(p\text{.}\} Como se muestra en la figura 5.1, la función \(f\) suele ser una función decreciente de \(p\text{.}\} porque la cantidad demandada de un producto suele disminuir a medida que aumenta el precio unitario asociado.

Figura 5.1. La función de demanda \(q=f(p)\) y los efectos en esta demanda de un aumento del precio en \(h\) dólares.Ahora adoptamos un enfoque similar al de nuestro análisis de la derivada en el capítulo 4. La figura 5.1 muestra un aumento de \(h\) dólares en el precio unitario \(p\) de algún producto hasta un precio unitario de \(p+h\) dólares. Por lo tanto, la cantidad demandada asociada cambia de \(f(p)\) unidades a \(f(p+h)\) unidades con una disminución global de \(f(p+h)-f(p)\) unidades. Ahora podemos calcular que la variación porcentual del precio unitario es

Fórmula económica de la elasticidad

Los animales vertebrados aprovechan las propiedades elásticas de sus tendones de varias maneras. En primer lugar, se puede ahorrar energía metabólica en la locomoción si los tendones se estiran y luego retroceden, almacenando y devolviendo la energía de la tensión elástica, ya que el animal pierde y recupera energía cinética. Los tendones de las piernas ahorran energía de esta manera cuando las aves y los mamíferos corren, y una aponeurosis en la espalda también es importante en los mamíferos que galopan. Los tendones pueden tener funciones similares de ahorro de energía en otros modos de locomoción, por ejemplo en la natación de los cetáceos. En segundo lugar, los tendones pueden retroceder elásticamente mucho más rápido de lo que los músculos pueden acortar, lo que permite a los animales saltar más lejos de lo que podrían. En tercer lugar, la elasticidad de los tendones afecta al control de los músculos, mejorando el control de la fuerza a expensas del control de la posición.

Regresión de la elasticidad

ResumenLa función de producción de elasticidad constante de sustitución describe la relación entre los resultados de la producción y los factores de producción en el proceso de producción tecnológica. Los factores de producción habituales son el capital y el trabajo. Para reflejar de forma exhaustiva la relación insumo-producto, este trabajo generaliza el modelo y añade factores que incluyen la energía, el consumo y la importación y exportación. Con respecto a la estimación de los parámetros del modelo, el documento propone un método de regresión no lineal de alta precisión y velocidad. El modelo de función de producción de elasticidad constante de sustitución se utiliza principalmente para calcular las tasas de contribución de los factores de crecimiento económico, y este documento propone un método de cálculo científico y fiable. Palabras clave: función de producción; crecimiento económico; tasa de contribución; regresión no lineal; análisis empírico1 IntroducciónEn algunos casos, la investigación sobre la teoría del crecimiento económico puede convertirse en una investigación sobre la función de producción, que es la expresión matemática de la relación dependiente entre los insumos y los productos de los factores de producción. Los economistas han propuesto varias funciones de producción, la función que ha tenido mayor influencia fue la propuesta por el profesor Solow del Instituto Tecnológico de Massachusetts, antiguo premio Nobel de Economía. La función de producción es la siguiente